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マナビオからのお知らせ


公開日:2013-01-26

I-Cubeの敷き詰め問題の難しさは何で決まるのか?

マナビオのHPの中で閲覧上位にくる記事に、I-Cubeについてのものがあります。

■アルゴクラブの教材:I-Cubeの4隅空けに解は何通りあるのか?
http://www.manabio.jp/kokuchi.php?id=40

■アルゴクラブの教材:I-Cubeの全体解は何通りあるのか?
http://www.manabio.jp/kokuchi.php?id=42

 最初の記事は、いくつかの最終状態を想定し、解の数から敷き詰め問題の難しさを考えたものです。2つ目の記事は、さらに一歩進めて、全ての最終状態の抽出と解の数から、敷き詰め問題の難しさを考察したものです。解が存在しない最終状態3つの発見もありました!

 I-Cubeは、アルゴクラブの中で様々な使われ方をしますが、自宅で個人で楽しむには、敷き詰め問題は、最適なのではないでしょうか。ここをご覧の多くの皆さんが、
「難しいI-Cube(ペントミノ)の問題はないかな?」
とお探しなのではないでしょうか。そこで、上記をまとめた論文風ドキュメントを公開しました。参考にしてみて下さい。(原紙はA3版縦1枚です。)

■I-Cube(アイキューブ)の解の総数から問題の難易度を評価する
http://www.manabio.jp/images/i-cube_paper1.pdf


■I-Cube(アイキューブ)の全体解から問題の難易度を評価する
http://www.manabio.jp/images/i-cube_paper2.pdf

 さて、これまでの研究の成果として、I-Cubeの全体解を得たことで、ある最終状態に至る解の数が、全体解の中でどの辺りにあるのか、分かるようになりました。

 結果を基に、解数の大小で序列をつけて、マナビオのアルゴクラブの生徒にやってみてもらいました。ところが、実際にやってもらうと、必ずしも解数の大小だけが、問題の難しさを決めているわけではないことが分かります。

 例えば、8マス×8マスの盤面の隅に2マス×2マスの空きを作る解は5,027通り、L字型の空きを作る解は15,512通りあり、解数だけでいえば前者の方が3倍難しいことになります。ところが、実際にやってみてもらうと、難しいはずの問題の方をより短い時間で敷き詰めることができます。

 不思議ですね。

 敷き詰め問題をやっている生徒を観察すると、大抵の場合、見せた最終状態の「空き」をどのピースで作るのか、一番最初に考えます。(これは、大人も子供も変わらないアプローチのように感じます。)今回の問題は、2つ共、「空き」が盤面の隅にまとまっており、とりあえず隅を使って「空き」を取り囲むようにピースを配置し、残りのピースで隙間なく敷き詰められるか思考錯誤します。

 この時、2マス×2マスの空きは、一番大きなL字のピース1つで囲むことができ、そのような解は243通り(解の4.83%)あります。一方、L字の空きを取り囲むには、最低2つのピースが必要になり、(実際に計算したわけではありませんが、)最初に直感的に選択した2つのピースが配置された解数が、243通りより極端に多くないと、「難しい問題」となってしまうのです。

 このような考察は、人間の面白さが出ていると思います。「15,512通りの解」は、全ての配置の中で最も多い最終状態です。でも、「最も簡単な解」ではないのです。きっと、最終状態を気にせず、ただ「敷き詰めれば良い」というルールでI-Cubeを実施しても、最も多くの人が辿りつく解ではないと思います。

 このように、人が感じる「難しさ」にも、よく見て・考えてみると理由があることが分かります。そして、発見した「理由」は、様々な問題の解を探すとき、新しい視点を与えてくれると思います。マナビオが、このような方法で「難しさ」を捉えるのは、発見した「理由」を「学習」にも応用できると考えているからです。

 I-Cubeの全体解を算出はしてみましたが、問題の難しを判定するには、「何かに着目した解の分類」がまだ必要なことが分かります。あなたは、I-Cubeの敷き詰め問題の難しさを決めているものは、何だと思いますか?

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